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Modélisation du réchauffement climatique
6 juillet 2019

Nature mathématique des distributions des températures: stable, gaussienne, autre?

 

mandelbrot

Le mathématicien Benoit Mandelbrot (1924-2010) a montré que les cours boursiers avaient un comportement chaotique et que leurs courbes d’évolutions  étaient d’allure fractale : si on prend l’allure générale d’une courbe boursière sur un an, il est possible de retrouver un motif similaire à des échelles de plus en plus petites, de l’ordre d’un mois, d’une semaine ou d’une journée. Cela montre donc en bourse que le comportement du marché passé a une influence sur celui à venir.

Il a établi que la dépendance reliant le prix au temps est caractérisée par la dimension fractale : plus elle est proche de 1, plus il est possible de faire une prévision à long terme. Plus cette dimension tend vers 2, moins les prévisions faites grâce aux fractales sont exactes.

Cela permet de générer des courbes boursières plausibles, en réitérant avec des échelles de plus en plus petites le même motif.

Voilà un exemple: 

fract

Voilà ce qu'écrivait Mandelbrot là-dessus: 

"Sur le plan pratique, cette constatation laisse imaginer qu'on pourrait utiliser un générateur de fractales à partir des données historiques des marchés financiers. Le modèle utilisé ne se contente pas simplement d'inspecter ce que le marché a fait hier ou la semaine dernière. Il est une représentation plus réaliste des fluctuations du marché, appelé mouvement brownien fractionné en temps multifractales de négociation. Les graphiques ,créés à partir des générateurs et de l'historique des cours, produisent des modèles permettant de simuler des scénarios alternatifs basés sur l'activité antérieur du marché.
Ces techniques ne donnent pas la prévision d'une baisse des prix ou d'une hausse pour un jour donné. Mais ils fournissent des estimations de la probabilité de ce que le marché pourrait faire et permettent de se préparer aux changements inévitables. Les nouvelles techniques de modélisation sont conçus pour nous éclairer sur les marchés financiers. Ils reconnaissent aussi l'avertissement du navigateur: même sur une mer calme, un coup de vent peut-être à l'horizon." (voir https://www.next-finance.net/Une-approche-fractale-des-marches)

Une question interessante et même capitale par rapport à notre projet de construire un modèle du réchauffement climatique en découle:

Est-ce que les fluctuations des températures sont d’allure fractales et ont une distribution "stable" (par opposition à gaussienne) comme les cours de la bourse, ou est-ce qu’elles suivent une distribution gaussienne, comme pour le mouvement brownien? Ou ni l'une ni l'autre?

La question nous paraît d'importance, et à notre connaissance, elle n'a jamais été posée.

Pour avoir une première approche de la réponse, partons de ce graphique qui représente l’évolution des températures de surface marines (SST) publiée par la NOAA :

sst

La courbe en rouge donne les températures toutes les semaines. La courbe en jaune celle des températures moyennes tous les 6 mois. 

Voilà ce que nous obtenons en itérant 3 fois la fractale à partir de 4 valeurs de la courbe rouge répartie sur une période de 6 mois

frr

Nous constatons que les oscillations réelles sont nettement plus marquées encore que ce que donne la fractale pour un pas d'une semaine. Donc au moins sur cet exemple il semble que l'aspect chaotique soit encore plus marqué que dans le cas boursier, où la fractalisation donne des évolutions des cours boursiers  tout-à-fait réalistes pour des échelles de temps plus petites.

Or c'est pour cela que Mandelbrot a contesté fortement que les distributions des cours de bourse soient gaussiennes, comme les théories classiques le préconisent (par exemple celles qui ont établi la formule de Black-Scholes). Ces théories classiques ne peuvent anticiper les krachs boursiers car pour elles, ils sont trop improbables. Et la réalité historique a montré exactement le contraire.

Et comme nous venons de le remarquer sur l'exemple des SST, il semble que ce ne soit pas suffisant pour les températures: Les oscillations très fortes semblent encore plus fréquentes et importantes, donc les événements qui auraient été négligés par une distribution gaussienne sont encore plus fréquents que le prévoirait même une distribution "stable", pourtant adaptée au chaotique et débouchant sur du fractal.

A creuser et à vérifier.

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  • L'auteur de ce blog propose une modélisation du réchauffement climatique qui se veut à la fois simple et fiable. Le blog a pour objectif essentiel de présenter ce modèle, d'en discuter et éventuellement de l'améliorer.
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